Question

如图①，已知中，，，，点是边上一点（不与重合），以为直径作，过作切于，交于.

（1）若的半径为2，求线段的长；

（2）若，求的半径；

（3）如图②，若，点关于的对称点为点，试求、两点之间的距离.

Answer

(1)；(2)的半径为3；(3)、两点之间的距离为.

【解析】

（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；

（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得△OEC∽△BCA，得到=，即，解得即可；

（3）证得D和M重合，E和F重合后，通过证得△GBE∽△ABC，，即，解得即可．

(1)如图，连结.

∵切于，

∴.

∵，半径为2，

∴，.

∴；

(2)设半径为.

在中，，，，

∴.

∵，

∴.

∴.

∵切于，

∴.

∴，

∴.

∴，

∴，

解得.

∴的半径为3；

(3)连结、，设交于点，

由对称性可知，.

又，

∴.

∴.

∵切于，

∴.

又，

∴.又，

∴.

∴.

∴点与点重合.

∴、、三点在同一条直线上.

连结、，

∵是直径，

∴，即.

又，

∴.

∴，

∴、、三点在同一条直线上.

∴、两点重合.

∵，，

∴.

∴，即.

∴.

故、两点之间的距离为.