Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．

（1）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．

Answer

（1）与相切.理由见解析；（2）.

【解析】

（1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；

（2）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE﹣CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD进行计算即可．

（1）直线ED与⊙O相切．理由如下：

连结OD，如图，∵，∴∠BAD=∠ACD．

∵∠DCE=∠BAD，∴∠ACD=∠DCE．

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，而∠OCD=∠DCE，∴∠DCE=∠ODC，∴OD∥BC．

∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；

（2）作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD=EH．

∵CE=1，AC=4，∴OC=OD=2，∴CH=HE﹣CE=2﹣1=1．在Rt△OHC中，∵OC=2，CH=1，∠OHC=90°，∠HOC=30°，∴∠COD=60°，∴阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD

•22

π．