Question

问题探究：

（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．

（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA=PB+PC

问题解决：

（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点A作BC边的垂线，垂足为D，点D即为所求，见解析；（2）证明见解析；（3）点P到A、B、C三点距离之和的最小值约是m．

【解析】

（1）过点A作AD⊥BC于D，点D即为所求．

（2）由托勒密定理得：PA•BC=BP•AC+CP•AB．再由等边三角形的性质得到AB=BC=AC，代入即可得到结论．

（3）如图③，以BC为边向外作正ΔBCD，再作它的外接圆，连接AD，与外接圆交于点P，点P就是所要求作的位置．由托勒密定理得到PD=BP+PC，而三点A、P、D共线，因此点P到三个顶点的距离和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短．过点D作DE⊥AC，交其延长线于点E．由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出结论．

（1）过点A作BC边的垂线，垂足为D，点D即为所求，如图①．

（2）如图②，由托勒密定理得：PA•BC=BP•AC+CP•AB．

又∵ΔABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∴AP•BC=（BP+CP）•BC．

∴AP=BP+PC．

（3）如图③，以BC为边向外作正ΔBCD，再作它的外接圆，连接AD，与外接圆交于点P，点P就是所要求作的位置．

由托勒密定理得：PD=BP+PC，而三点A、P、D共线，因此点P到三个顶点的距离和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短．

过点D作DE⊥AC，交其延长线于点E．

∵BC=CD=30，∠DCE=30°，∴DE=15，CE=．

在RtΔADE中，由勾股定理得：

=，则点P到A、B、C三点距离之和的最小值约是m．