Question

如图，为的直径，，是的两条弦，过点作，交的延长线与点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的值；

（3）在（2）的条件下，若，，求与的长.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）连接OC，由∠A=∠1=∠2且∠2+∠OCB=90°知∠1+∠OCB=90°，据此即可得证；

（2）先△ADC∽△CDB得，且CD2=AD•BD，设CD=4x，CA=4k，知AB=5k，从而得出（4x）2=3x•（3x+5k），解关于x的方程，进而得出答案；

（3）由（2）得AB=7、BD=9、CD=12，证DE是∠ADC的平分线知，求出AC=，EC=证得∠A+∠EDA=∠DEC=45°，作DH⊥AC，知△CDH为等腰直角三角形，由BC∥DH知∠CDH=∠1，据此得tan∠CDH==，继而得DH=CD•=，由DE=即可解答.

【解析】
（1）如图:

∵OA=OC，

∴∠A=∠2，

∵∠A=∠1，

∴∠1=∠2，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠2+∠OCB=90°，

∴∠1+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2），

∴，又∵，

∴，

∴，设，

则，则，

解得：，，

∴

（3）由（2）知AB=5k=7知k=，则BD=9，CD=4x=4×k=4××=12，

∵∠CED=∠A+∠EDC=∠A+∠ADE，

∴∠EDC=∠ADE，即DE是∠ADC的平分线，

∴，

则，

∴

∵，，

且，

∴，

过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形，

，

∴，，

∴