Question

如图，内接于，为的直径，，，、分别是边、上的两个动点（不与端点、、重合），将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上（包含端点、），若为等腰三角形，则的长为__.

Answer

或或

【解析】

分三种情况讨论：当AB'=DB'时，△ADB′是等腰三角形；当AD=AB'时，△ADB′是等腰三角形；当AD=B'D时，△AEB′是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到CB′的值．

【解析】
内接于，为的直径，

∴∠C=90°，

∵BC=3，AB=5，

∴AC=4，

分三种情况讨论：

①如图所示，当AD=DB''时，△ADB′是等腰三角形；

∴DB=B'D=AD，

即：D点与O点重合，B'与C重合，

AD=

②如图所示，当B'D=AB'时，△AEB′是等腰三角形，

过B'作B'H⊥AB，垂足为H，

∴AH=DH

∴△AHB'∽△ABC

设AB'=B'D=BD＝5x，则AH= DH =4x，HB'=3x，

∴AB=BD+DH+AH=13x，

即13x=5，x=，

AD=8x=

③如图所示，当AD=AB'时，△AEB′是等腰三角形，

过B'作B'H⊥AB，垂足为H，

∴△AHB'∽△ABC

设AB'=AD=5x，则AH=4x，HB'=3x，DH=x，

∴DB=DB'= ==

∴5x+=5

解得，

∴AD=5x=.

综上所述：AD的长为：或或.