Question

如图，直线与双曲线交于点、，直线交轴、轴于点、，直线过点，与双曲线的另一个交点为点，连接、，若，且，则的值为_____.

Answer

【解析】

过点A作AF⊥y轴于点F，过点D作DG⊥y轴于点G，先联立直线AB反比例函数的解析式求出A、D点的横坐标，得到AF与DG，再由三角形的面积比与相似三角形的比例线段得到k与b的关系，进而用b的代数式表示A点坐标，再将其代入AE的解析式中，用b表示n，进而联立AE与反比例函数解析式求出E的坐标，最后根据已知三角形的面积，得到b的方程求得b，问题便可迎刃而解．

【解析】
过点A作AF⊥y轴于点F，过点D作DG⊥y轴于点G，

∴AF∥DG，

∴△ABF∽△DBG，

∴，

∵S△ABE：S△DBE＝3：4，

∴，

由2x+b＝ 得，2x2+bx﹣k＝0，

解得，x＝ ，

即A点的横坐标为，D点横坐标为，

∴AF＝，DG＝=，

∴，

解得，k＝6b2，

∴A点的横坐标为＝b，纵坐标为=4b，

∴A（b，4b），

把A（b，4b）代入y＝﹣+n中，得n＝5b，

∴AE的解析式为：y＝﹣+5b，

联立方程组 ，

解得 ，，

∴E（6b，b），

∵B（0，b），

∴BE∥x轴，

∴BE＝6b，

∴=，

∵S△ABE＝4，

∴9b2＝4，

∴b2＝，

∴k＝6b2＝6×=．

故答案为：．