Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点.

（1）若点坐标为，求抛物线的解析式和点的坐标；

（2）若点为抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，点为抛物线在轴上方一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；

（3）直线与（1）中的抛物线交于点、（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为，与直线的另一个交点为，与轴的交点为，在平移的过程中，求的长度；当时，求点的坐标.

Answer

（1）;;（2）； ，;（3）

【解析】

（1）将点D的坐标代入函数解析式，求得a的值；利用抛物线解析式来求点C的值．

（2）需要分类讨论：BC为边和BC为对角线两种情况，根据“平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线相互平分”的性质列出方程组，利用方程思想解答．

（3）根据平移规律得到D′E′的长度、平移后抛物线的解析式，然后由函数图象上点的坐标特征求得点B′的坐标．

（1）依题意得：

解得，

∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或

∴

（2）由题意可知、、

对称轴为直线，则

①，且，根据点的平移特征可知

则，

解得：（舍去正值）；

②当为对角线时，设，根据平行四边形的对角线互相平分可得

，

解得，

则

解得：

∴，

（3）联立

解得：(舍去)，

则，根据抛物线的平移规律，

则平移后的线段始终等于

设平移后的，则

平移后的抛物线解析式为：

则：过，

∴，则

抛物线过

解得，

∴，（与重合，舍去）

∴