Question

为迎接北京2022年冬奥会，某工艺厂准备生产奥运会标志与奥运会吉祥物，该厂主要用甲、乙两种原料．已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完．

（1）求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

（2）如果奥运会标志的成本为16元，奥运会吉祥物的成本为15元，若东营客商购进奥运会标志和奥运会吉祥物共250件进行试销，其中奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数，且不小于80件，已知奥运会标志的售价为24元/件，奥运会吉祥物的售价为22元/件，且全部售出，设购进奥运会标志m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，东营客商决定在试销活动中毎售出一件奥运会标志，就从一件奥运会标志的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益．

Answer

（1）该厂能生产奥运会标志2000套，能生产奥运会吉祥物2400套；（2）80≤m≤125；（3）当m＝80时，w取最大值，最大收益为[80（1﹣a）+1750]元．

【解析】

（1）设该厂能生产奥运会标志x套，能生产奥运会吉祥物z套，根据该厂购进甲、乙原料的数量，即可得出关于x、z的二元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设购进奥运会标志m件，则购进奥运会吉祥物（250﹣m）件，根据总利润＝单价利润×购进数量，即可得出y关于m的函数关系式，再由奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数且不小于80件，即可得出m的取值范围；

（3）设该客商售完所有商品并捐献资金后获得的收益为w元，根据收益＝利润﹣捐献总资金，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

（1）设该厂能生产奥运会标志x套，能生产奥运会吉祥物z套，

根据题意得：，

解得：．

答：该厂能生产奥运会标志2000套，能生产奥运会吉祥物2400套．

（2）设购进奥运会标志m件，则购进奥运会吉祥物（250﹣m）件，

根据题意得：y＝（24﹣16）m+（22﹣15）（250﹣m）＝m+1750．

∵奥运会标志的件数不大于奥运会吉祥物的件数，且不小于80件，

∴，

∴80≤m≤125．

（3）设该客商售完所有商品并捐献资金后获得的收益为w元，

根据题意得：w＝y﹣am＝（1﹣a）m+1750（80≤m≤125），

∴①当a＜1时，1﹣a＞0，

∴w随m值的增大而增大，

∴当m＝125时，w取最大值，最大收益为[125（1﹣a）+1750]元；

②当a＝1时，1﹣a＝0，

∴w＝1750，即在80≤m≤125中，该客商均为1750元；

③当a＞1时，1﹣a＜0，

∴w随x值的增大而减小，

∴当m＝80时，w取最大值，最大收益为[80（1﹣a）+1750]元．