Question

如图，已知直线∥AB，与 AB 之间的距离为 2 ，C、D 是直线上两个动点（点 C在 D 点的左侧），且 AB=CD=5．连接 AC、BC、BD，将△ABC 沿 BC 折叠得到△A′BC．若以 A′、C、B、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为____．

Answer

3或 7

【解析】

根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5可得计算出结果．

∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10，

设矩形的边长分别为a，b，
当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A′CB=S△ABC=×2×5=5，
∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，
而BA′=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，
∴a+b=3，
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴a+b=7，
∴此矩形相邻两边之和为3或7.

故答案是：3或7.