Question

已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD.

（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；

（2）求四边形ACDB的面积.

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ACDB的面积为8.

【解析】

（1）依题可得：AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的角平分线,根据角平分线的定义和平行线的性质得∠ACB=∠ABC，根据等角对等边得AC=AB，从而得AC=CD=DB=BA，根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形ACDB是菱形；再根据题中的新定义即可得证.
（2）设菱形ACDB的边长为x，根据已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x，根据相似三角形的判定和性质可得 ，解得：x=4,过点A作AH⊥CD于点H,在Rt△ACH中，根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH ,再由四边形的面积公式即可得答案.

（1）由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，

∴∠ACB=∠DCB，

又∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠DCB，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AC=AB，

又∵AC=CD，AB=DB，

∴AC=CD=DB=BA，

四边形ACDB是菱形，

又∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，

∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.

（2）设菱形ACDB的边长为x，∵CF=6，CE=12，

∴FA=6-x，

又∵AB∥CE，

∴△FAB∽△FCE，

∴ ，

即 ，

解得：x=4，

过点A作AH⊥CD于点H，

在Rt△ACH中，∠ACH=45°，

∴sin∠ACH= ，

∴AH=4× =2，

∴四边形ACDB的面积为： .