Question

已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）菱形ADCF的面积＝10；（3）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，理由见解析.

【解析】

（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到AF=BD．证出四边形ADCF是平行四边形，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出四边形ADCF是菱形；由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论；

（3）当AB=AC时和D是BC的中点可得：AD⊥BC，从而得出结论.

（1）证明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，

∴AD＝DC＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

连接DF，如图所示：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF＝AB＝5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴菱形ADCF的面积＝AC▪DF＝×4×5＝10．

（3）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，

理由：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴ AD⊥BC，

又∵四边形ADCF是菱形，

∴菱形ADCF是正方形.