Question

如图1，抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，连接 ．点 为抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线 ，交直线 于点 ，交 轴于点 ．

Ⅰ 求抛物线的表达式；

Ⅱ 当 位于 轴右边的抛物线上运动时，过点 作 直线 ， 为垂足．当点 运动到何处时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似?并求出此时点 的坐标；

Ⅲ 如图2，当点 在位于直线 上方的抛物线上运动时，连接 ， ．请问 的面积 能否取得最大值?若能，请求出最大面积 ，并求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的表达式为 ;（2）点 的坐标为 或 ;（3）当 时， 的面积 能取最大值 ，此时 点坐标为 ．

【解析】（1） 由题意得：

解得

抛物线的表达式为 ．

      （2） 点坐标为 ，

为等腰直角三角形，且 为直角．

， ， 为顶点的三角形与 相似，

为等腰直角三角形，

又 直线 ，

．

设 ，则 ，

．

，

，解得 或 ．

点 的坐标为 或 ．

      （3） ， ，

直线 的表达式为 ，

设 ，则 ，

．

．

当 时， 的面积 能取最大值 ，此时 点坐标为 ．