Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于、两点，（点在点的左侧）与轴交于点，连接．

（1）求点、点和点的坐标；

（2）如图2，若点为第四象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），，；（2）；；（3），，，，

【解析】

（1））求当时和当时的解即可（2）根据点的位置结合二次函数的图象和性质求和，从而求得面积的最大值（3）先求出函数的对称轴，设点的坐标,再根据等腰三角形性质分情况讨论求解.

（1）当时，，解得，，

又∵在的左侧，

∴，，

当时，，∴．

（2）∵的横坐标为，在抛物线上．

∴的纵坐标为，∴，

∵点在第四象限，∴，，

连接，

∵，

，

．

∴

．

∵，∴当时，

．

（3）二次函数的对称轴是

设点P的坐标为,又因为

分三种情况讨论：

当时，

解得，此时,

当时，

解得，此时，,

当时，

解得，此时，

，，，，