Question

如图，P为线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上。若∠DAP=60°，AP²+3PB²=1， M，N分别是对角线AC，BE的中点. MN长为 （   ）   

A.  B.  C. 1 D. 4

Answer

A

【解析】

连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，然后求出MP、NP的长再利用勾股定理求出MN即可.

【解析】
连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，

，

∴∠MPN=60°+30°=90°，

∵∠CAP=30°， ∠APM=60°， ∠NPB=30°， ∠NBP=60°，

∴∠AMP=90°，∠PNB=90°，

∴MP=AP，NP=，

∵MN2= MP2+ NP2，AP2+3PB2=1，

∴MN2=（AP）2+（）2==，

∴MN=.

故选：A．