Question

如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；

（2）先求出BD的长，求出菱形的面积，即可求出答案．

试题解析：（1）∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，

∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，

∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，

∴AB=BC，AB=AD

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD=AB，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，

∵AB=5，

∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，

∴BD=2BO=8，

∴菱形ABCD的面积为×AC×BD=×6×8=24，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=AB=5，

∴5×AM=24，

∴AM=，

即AE，BF之间的距离是．