Question

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（1）求证：OP=OQ ；

（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以 的速度向点D 运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；

（3）当t为何值时，四边形PBQD是菱形？

Answer

(1)见解析； (2) PD=8−t；(3)当t=时，四边形PBQD是菱形.

【解析】

（1）由矩形ABCD中，O为BD的中点，易证得△PDO≌△QBO（ASA），继而证得OP=OQ；

（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的长；

（3）由四边形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB2+AP2=PD2，继而可得方程62+t2=（8-t）2，解此方程即可求得答案

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，

∵O为BD的中点，

∴DO=BO，

在△PDO和△QBO中，

∴△PDO≌△QBO(ASA)，

∴OP=OQ；

(2)由题意知：AD=8cm，AP=tcm，

∴PD=8−t，

(3) ∵DO=BO，OP=OQ，

∴四边形PBQD是平行四边形，

∵PB=PD，

∴PB2=PD2，

即AB2+AP2=PD2，

∴62+t2=(8−t)2，

解得 t=，

∴当t=时，PB=PD，四边形PBQD是菱形.