Question

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．

（1）证明：△BOE≌△DOF；

（2）当EF⊥AC时，求证四边形AECF是菱形．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据矩形的性质，通过“角角边”证明三角形全等即可；

（2）根据题意和（1）可得AC与EF互相垂直平分，所以四边形AECF是菱形．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，AE∥CF，

∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等），

在△BOE与△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．