Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

Answer

（1）y=x2﹣x﹣1；（2） ；当t=2时，p有最大值；（3）或；

【解析】

把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
令求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
根据逆时针旋转角为可得轴时，轴，然后分点、在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；点、在抛物线上时，表示出点的横坐标，再根据两点的纵坐标相差的长度列出方程求解即可．

直线l：经过点，
，
直线l的解析式为，
直线l：经过点，
，
抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
令，则，
解得，
点A的坐标为，
，
在中，，
，
轴，
，
在矩形DFEG中，，
，
，
点D的横坐标为，
，，
，
，
，且，
当时，p有最大值；

绕点M沿逆时针方向旋转，
轴时，轴，设点的横坐标为x，

①如图1，点、在抛物线上时，点的横坐标为x，点的横坐标为，
，
解得，

②如图2，点、在抛物线上时，点的横坐标为，点的纵坐标比点的纵坐标大，
，
解得，
综上所述，点的横坐标为或．