Question

如图，边长为的正方形的对角线交于点，把边、分别绕点、同时逆时针旋转得四边形，其对角线交点为，连接．下列结论：

①四边形为菱形；

②；

③线段的长为；

④点运动到点的路径是线段．其中正确的结论共有（ ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

①根据旋转角是60°以及正方形的四个角都是直角可得∠BCD′＝30°，然后证明A′B∥CD′，进而得到四边形A′BCD′是平行四边形，再根据A′B＝BC，即可证明四边形A′BCD′是菱形；

②根据旋转角是60°求出点B到A′D′的距离是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明；

③先求出OA′的长度，再根据菱形的对边相等，减去正方形的边长即可；

④根据旋转的性质，点O以BC的中点为圆心，以BC的一半为半径逆时针旋转可以得到点O′，所以路径是弧而非线段．

①根据题意，∠A′BA＝∠D′CD＝60°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BCD′＝30°，

∴∠A′BC＋∠BCD′＝60°＋90°＋30°＝180°，

∴A′B∥CD′，

又∵A′B＝CD′＝AB，

∴四边形A′BCD′是平行四边形，

∵AB＝BC（正方形的边长相等），

∴四边形A′BCD′是菱形，故本题小题正确；

②∵∠ABA′＝60°，AB＝2，

∴点B到A′D′的距离是：A′B＝AB＝1，

∴S四边形A′BCD＝BC•（A′B）＝2×1＝2，

S正方形ABCD＝BC•AB＝2×2＝4，

∴S四边形A′BCD＝S正方形ABCD，故本小题正确；

③∵点O是AC的中点，

∴OA′＝A′B•sin60°＋BC＝2×＋×2＝＋1，

∴OD′＝OA′−A′D′＝＋1−2＝−1，故本小题正确；

④根据菱形的对角线互相垂直可得△BCO′是直角三角形，

∴以BC的中点为圆心，以BC的一半为半径，点O逆时针旋转可以到达点O′的位置，经过路径是弧而不是线段OO′，故本小题错误．

综上所述，正确的结论有①②③共3个．

故选：C．