Question

如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论：①①；②四边形为平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形．其中正确的结论有（ ）个．

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

①由△ABE与△BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△EBF与△DFC全等；

②利用（1）中全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形；

③当AE＝AD时，ADFE是菱形，可以用邻边相等的平行四边形是菱形判断即可；

④当∠BAC＝150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形，由此即可判断；

∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，

∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（SAS），

∴EF＝AC，

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD＝AD＝AC，

∴EF＝AD＝DC，

同理可得△ABC≌△DFC，

∴DF＝AB＝AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

∴∠FEA＝∠ADF，

∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，

在△FEB和△CDF中，，

∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正确，

∴EB＝DF，EF＝DC．

∵△ACD和△ABE为等边三角形，

∴AD＝DC，AE＝BE，

∴AD＝EF，AE＝DF

∴四边形AEFD是平行四边形；故②正确，

若AB＝AC，则AE＝AD，四边形AEFD是菱形此，

故△ABC满足AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；故③正确；

若∠BAC＝90°，则平行四边形AEFD是矩形；

由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD＝90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，

∴∠BAC＝360°−60°−60°−90°＝150°，

即△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AEFD是矩形；

∴∠BAC＝90°，四边形AEFD不是矩形；故④错误，

故选：C．