Question

如图所示，点是正方形的对角线上一点，于，于，连接，给出下列四个结论：

①；  ②一定是等腰三角形；  ③；  ④，

其中正确结论的序号是________．

Answer

①③④

【解析】

连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝PC，对应角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF＝PC，对边相等可得PF＝EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可．

如图，连接PC，

在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，

∵在△ABP和△CBP中，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，

又∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四边形PECF是矩形，

∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，

∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正确；

∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，

∴△PDF是等腰直角三角形，

∴PD＝PF，

又∵矩形的对边PF＝EC，

∴PD＝EC，故④正确；

只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；

综上所述，正确的结论有①③④．

故答案为：①③④．