Question

已知矩形和点，当点在上任一位置（如图所示）时，易证得结论：，请你探究：当点分别在图、图中的位置时，、、和又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图证明你的结论．

答：对图的探究结论为________；

对图的探究结论为________；

                   

Answer

【解析】

结论均是：．如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，可得四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据（1）中的结论可得，在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2①，在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2②， 利用①+②即可证得结论；如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，用上面的方法解决即可.

结论均是：．

（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，

∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，

根据（1）中的结论可得，

在矩形ABNM中可得：PA2+PN2=PB2+PM2①，

在矩形NCDM中可得：PC2+PM2=PD2+PN2②，

①+②得：PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，

∴PA2+PC2=PB2+PD2．

（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，

∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，

同样根据（1）中的结论可得，

在矩形BCNM中可得：PC2+PM2=PB2+PN2①，

在矩形ADNM中可得：PA2+PN2=PD2+PM2②，

①+②得：PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2，

∴PA2+PC2=PB2+PD2．

故答案为： ； .