Question

已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

C

【解析】

先将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-3x+（4-a）=0①．由于原方程只有一个实数根，因此，方程①的根有两种情况：（1）方程①有两个相等的实数根，此二等根使x（x-2）≠0；（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使x（x-2）=0，另外一根使x（x-2）≠0．针对每一种情况，分别求出a的值及对应的原方程的根．

去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）=0．①

方程①的根的情况有两种：

（1）方程①有两个相等的实数根，即△=9﹣4×2（4﹣a）=0．

解得a=．

当a=时，解方程2x2﹣3x+（﹣+4）=0，得x1=x2=．

（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．

（i）当x=0时，代入①式得4﹣a=0，即a=4．

当a=4时，解方程2x2﹣3x=0，x（2x﹣3）=0，x1=0或x2=1.5．

而x1=0是增根，即这时方程①的另一个根是x=1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．

（ii）当x=2时，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）=0，即a=6．

当a=6时，解方程2x2﹣3x﹣2=0，x1=2，x2=﹣ ．

x1是增根，故x=﹣为方程的唯一实根；

因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6共3个．

故选：C．