Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．

①若△NPH的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣3，0），B（0，4），E（﹣1.5，2）；（2）①当t=1或2时，存在△NPH的面积为1；②P（﹣2，2）．

【解析】

（1）分别令x与y等于0，即可求出点A与点B的坐标，由四边形AOCD为矩形，可知：CD∥x轴，进而可知：D、C、E三点的纵坐标相同，由点C为OB的中点，可求点C的坐标，然后将点C的纵坐标代入直线y=x+4即可求直线AB与CD交点E的坐标；

（2）①分两种情况讨论，第一种情况：当0＜t＜2时；第二种情况：当2＜t≤6时；

②由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而可得：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+2，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，然后求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标

（1）∵直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，

∴令x=0得：y=4，

令y=0得：x=-3，

∴A（-3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∵点C为OB的中点，

∴OC=2，

∴C（0，2），

∵四边形AOCD为矩形，

∴OA=CD=3，OC=AD=2，CD∥OA（x轴），

∴D、C、E三点的纵坐标相同，

∴点E的纵坐标为2，将y=2代入直线y=x+4得：x=-1.5，

∴E（-1.5，2）；

（2）①分两种情况讨论：

第一种情况当0≤t＜1.5时，如图1，

根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，

∴NH=3-2t，

∵S△NPH=PH•NH，且△NPH的面积为1，

∴×2×（3-2t）=1，

解得：t=1；

第二种情况：当1.5≤t≤3时，如图2，

根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，

∴AH=3-t，

∴HN=AN-AH=t-（3-t）=2t-3，

∵S△NPH=PH•NH，且△NPH的面积为1，

∴×2×（2t-3）=1，

解得：t=2；

∴当t=1或2时，存在△NPH的面积为1；

②BP+PH+HQ有最小值，

连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图3，

∵四边形PHCB是平行四边形，

∴PB=CH，

∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，

∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+2有最小值，

∴只需CH+HQ最小即可，

∵两点之间线段最短，

∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，

过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，

∵点Q是点B关于点A的对称点，

∴OA是△BQM的中位线，

∴QM=2OA=6，OM=OB=4，

∴Q（-6，-4），

设直线CQ的关系式为：y=kx+b，

将C（0，2）和Q（-6，-4）分别代入上式得：

，

解得：，

∴直线CQ的关系式为：y=x+2，

令y=0得：x=-2，

∴H（-2，0），

∵PH∥y轴，

∴P（-2，2）．