Question

如图，直线与双曲线交于点A、E，AB交双曲线于另一点B（，），连接EB并延长交x轴于点F．

（1）         ；

（2）求直线AB的解析式；

（3）求△EOF的面积；

（4）若点P为坐标平面内一点，且以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

 

Answer

（1）2；（2）y=x-2；（3）12；（4）（-4，-2）或（0，-6）或（8,10）

【解析】

（1）把B（，）代入反比例函数即可求出m的值；

（2）联立直线y=2x与反比例函数即可求出A,E坐标，然后用待定系数法确定直线AB的关系式；

（3）先用待定系数法求出EB的解析式，再令y=0,得出F的坐标，最后用三角形的面积公式求出△EOF的面积；

（4）分类讨论：分别以AB，BE,AE为对角线求对应的P的坐标.

（1）∵点B(2m,m)在反比例函数上，

∴2m·m=8，解得m=±2，而m＞0，

∴m=2

（2）m=2，则点B的坐标为（4,2）

联立解析式得或

∴点A坐标为（-2，-4），E点坐标为（2,4）

设直线AB的解析式为y=k1x+b1,

把A（-2，-4），B（4,2）代入得：-2k1+b1=-4，4k1+b1=2,

解方程组得k1=1, b1=-2,

∴直线AB的解析式为y=x-2;

（3）设直线EB的解析式为y=k2x+b2，

把E（2,4），B（4,2）代入可得2k2+b2=4,4k2+b2=2,解得k2=-1，b2=6，

∴直线EB的解析式为y=-x+6，

令y=0，解得x=6，故F（6,0）

∴S△EOF==12

（4）①以AB为对角线时，由A（-2，-4），B（4,2）求出中点O坐标为(1,-1),故E（2,4）关于中点O(1,-1)的对称点P为（0，-6）；

②以BE为对角线时，由E（2,4），B（4,2）求出中点O’坐标为(3,3),故A（-2，-4）关于中点O’(3,3)的对称点P为（8,10）；

③以AE为对角线时，由A（-2，-4），E（2,4）求出中点O’坐标为(0,0),故B（4,2）关于中点O’(0,0)的对称点P为（-4，-2）；

故满足条件的点P的坐标为（-4，-2）或（0，-6）或（8,10）