Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于点B，C且与直线y＝x交于点A，点D是直线OA上的点，当△ACD为直角三角形时，则点D的坐标为___．

Answer

（，）或（﹣4，﹣2）．

【解析】

解方程或方程组得到A（6，3），B（12，0），C（0，6），①当∠ADC=90°，得到CD⊥OA，设直线CD的解析式为：y=-2x+b，求得直线CD的解析式为：y=-2x+6，解方程组得到D（ ， ），②当∠ACD=90°，得到DC⊥BC，设直线CD的解析式为：y=2x+a，把C（0，6）代入得，a=6，求得直线CD的解析式为：y=2x+6，解方程组得到D（-4，-2）．

【解析】
（1）直线y＝﹣x+6，

当x＝0时，y＝6，

当y＝0时，x＝12，

则B（12，0），C（0，6），

解方程组： 得： ，

则A（6，3），

故A（6，3），B（12，0），C（0，6），

∵△ACD为直角三角形，

∴①当∠ADC＝90°，

∴CD⊥OA，

∴设直线CD的解析式为：y＝﹣2x+b，

把C（0，6）代入得，b＝6，

∴直线CD的解析式为：y＝﹣2x+6，

解 得 ，

∴D（ ， ），

②当∠ACD＝90°，

∴DC⊥BC，

∴设直线CD的解析式为：y＝2x+a，

把C（0，6）代入得，a＝6，

∴直线CD的解析式为：y＝2x+6，

解 得， ，

∴D（﹣4，﹣2），

综上所述：点D的坐标为（ ， ）或（﹣4，﹣2）．

故答案为：（ ， ）或（﹣4，﹣2）．