Question

如图，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y=-x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E

（1）求点D的坐标及直线OP的解析式；

（2）求△ODP的面积，并在直线AD上找一点N，使△AEN的面积等于△ODP的面积，请求出点N的坐标

（3）在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）点D的坐标为（2，6）．直线OP的解析式为y=x．（2）点N的坐标为（3，5）或（13，-5）．（3）在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．

【解析】

（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；

（2）利用三角形面积的公式可求出S△ODP的值，由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（m，-m+8），由△AEN的面积等于△ODP的面积，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点N的坐标中即可得出结论；

（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况考虑：①当∠FGQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标．综上，此题得解．

（1）∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6），

∴点A的坐标为（8，0），BC∥x轴．

∵直线y=-x+b经过点A，

∴0=-8+b，

∴b=8，

∴直线AD的解析式为y=-x+8．

当y=6时，有-x+8=6，

解得：x=2，

∴点D的坐标为（2，6）．

∵点P是AD的中点，

∴点P的坐标为（，），即（5，3），

∴直线OP的解析式为y=x．

（2）S△ODP=S△ODA-S△OPA，

=×8×6-×8×3，

=12．

当x=8时，y=x=，

∴点E的坐标为（8，）．

设点N的坐标为（m，-m+8）．

∵S△AEN=S△ODP，

∴××|8-m|=12，

解得：m=3或m=13，

∴点N的坐标为（3，5）或（13，-5）．

（3）∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），

∴点F的坐标为（t，t），点G的坐标为（t，-t+8）．

分三种情况考虑：

①当∠FGQ=90°时，如图1所示．

∵△FGQ为等腰直角三角形，

∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，

解得：t=，

此时点Q的坐标为（8，）；

②当∠GFQ=90°时，如图2所示．

∵△FGQ为等腰直角三角形，

∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，

解得：t=，

此时点Q的坐标为（8，）；

③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．

∵△FGQ为等腰直角三角形，

∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），

解得：t=，

此时点F的坐标为（，4），点G的坐标为（，）

此时点Q的坐标为（8，）.

综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．