Question

如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，

（1）求m的值及点E、F的坐标；

（2）求△APE的面积；

（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．

【解析】

（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得AP的解析式，根据函数值为零，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：①当点A与点B为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；②当点A与点Q为对应顶点时，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．

【解析】
（1）一次函数y＝﹣x+4的图象经过点A（m，2），

得﹣m+4＝2，

解得m＝，

∵一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．

∴当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；

当x＝0时，y＝4，即F（0，4）；

（2）把点A（，2）一次函数y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，

y＝4x﹣4，当y＝0时，x＝1，即P（1，0）．

PE＝3﹣1＝2，

S△APE＝×2×2＝2；

（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y＝﹣x+4上的点，设Q（m，n）．

由两点间的距离，得AE＝＝ ，AP＝＝，PE＝2．

①当点A与点B为对应顶点时，

∵△APE≌△BQE，

∴S△BQE＝S△APE＝2，

∴BE×|n|＝2．

∵BE＝AE＝，

∴|n|＝，n＝±．

当n＝时，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；

当n＝﹣时，﹣x+4＝﹣，解得m＝ ，即Q2（，﹣）；

②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，

则n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝ ，

∴Q3（，﹣2），

综上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．

故答案为：（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．