Question

如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.

（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；

（2）已知四边形ABCD中，∠A=105º，∠D=125º，求∠F的度数；

（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）50°；（2）25°；（3）∠F=（∠A+∠D-180）°.

【解析】

（1）由∠ABC=80°，可知∠ABE=100°，根据BF平分∠ABE，BF∥CD可得∠BCD=50°.

（2）由三角形外角性质可知∠F=∠FBE-∠FCE，而BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，故∠F=（∠ABE-∠FCE），由补角性质和四边形内角和可得∠ABE=360°-∠A-∠B-∠BCD，将已知代入即可求解；

（3）同（2）可得∠F=(∠A+∠D-180°)

【解析】
（1）∵∠ABC=80°，

∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，

∵BF平分∠ABE，

∴∠EBF=∠ABE=50°，

∵BF∥CD

∴∠BCD=∠EBF=50°；

（2）∵∠FBE是△EBC的外角，

∴∠F=∠EBF-∠ECF

∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，

∴∠EBF=∠ABE=，∠ECF=∠BCD，

∵∠ABE=180°-∠ABC，

∴∠F=（180°-∠ABC）-∠BCD=[180°-（∠ABC+∠BCD）]，

∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，

∴∠F=[180°-（360°-∠A-∠D）]，

∴∠F=（∠A+∠D-180°），

∵∠A=105º，∠D=125º，

∴∠F=（105º +125º -180°）=25°，

（3）结论：∠F=（∠A+∠D-180°）

理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，

∴∠F=∠EBF-∠ECF

∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，

∴∠EBF=∠ABE=，∠ECF=∠BCD，

∵∠ABE=180°-∠ABC，

∴∠F=（180°-∠ABC）-∠BCD=[180°-（∠ABC+∠BCD）]，

∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，

∴∠F=[180°-（360°-∠A-∠D）]，

∴∠F=（∠A+∠D-180°），