Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）分别证明△ABE≌△ADN、△AEM≌△ANM，根据全等三角形的性质解答；

（2）由（1）的证明方法相同，证明即可．

（1）猜想：BM+DN=MN．证明如下：

如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．

在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．

在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；

（2）DN=MN+BM．证明如下：

如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．

在△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．

∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．

在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN，∴DN=MN+BM．