Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，且CE∥BF，连接BE，CF．

（1）求证：四边形EBFC是菱形；

（2）若BD＝4，BE＝5，求四边形EBFC的面积．

Answer

（1）见解析;（2）24．

【解析】

（1）由D是BC边的中点，CE∥BF，利用ASA易证得△BDF≌△CDE，即可得CE＝BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFCE是平行四边形；

由AB＝AC，D是BC边的中点，即可得AD⊥BC，又由四边形BFCE是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形．

（2）求出BC、EF即可解决问题；

（1）证明：∵D是BC边的中点，

∴BD＝CD，

∵CE∥BF，

∴∠DBF＝∠ECD，

在△BDF和△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（ASA），

∴CE＝BF，

又∵CE∥BF，

∴四边形BFCE是平行四边形；

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

又∵四边形BFCE是平行四边形，

∴四边形BFCE是菱形．

（2）【解析】
在Rt△BDE中，BE＝5，BD＝4，

∴DE＝＝3，

∵四边形BECF是菱形，

∴EF＝2DE＝6，BC＝2BD＝8，

∴菱形BECF的面积＝×6×8＝24．