Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.

(1) 求证：AF=DC；

(2) 若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由；

(3) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）四边形ADCF是菱形（3）当AB=AC且∠BAC=90°时，四边形ADCF是正方形

【解析】

（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；
（3）根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，得出∠ADC=90°，根据正方形的判定得出即可．

(1)证明：连接DF,

∵E为AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠DEB,AE=DE，

∴△AFE≌△DBE(AAS)，

∴EF=BE，

∵AE=DE，

∴四边形AFDB是平行四边形，

∴BD=AF，

∵AD为中线，

∴DC=BD，

∴AF=DC；

(2)四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：

∵AF=DC,AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥AB，

∴∠CAB=90°，

∵AD为中线，

∴AD=BC=DC，

∴平行四边形ADCF是菱形；

(3)当△ABC满足AC=AB且∠BAC=90°时，四边形ADCF为正方形，理由如下：

∵∠CAB=90°，AC=AB，AD为中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵四边形ADCF是菱形，

∴四边形ADCF是正方形.