Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．

（1）如图，当∠DAG=30° 时，求BE的长；

（2）如图，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

（3）如图，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．

Answer

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90∘，

∵∠DAG=30∘，

∴∠BAG=60∘

由折叠知,∠BAE= ∠BAG=30∘，

在Rt△BAE中,∠BAE=30∘，AB=3，

∴BE=

(2)如图,连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90∘，

∴∠EFG=90∘，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,

EG=EG，

EF=EC，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

∴GF=GC；

设GC=x，则AG=3+x，DG=3−x，

在Rt△ADG中,42+(3−x)2=(3+x)2，

解得x= .

(3)如图1,

由折叠知,∠AFE=∠B=90∘，EF=BE，

∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，

∴当CF最小时，△CEF的周长最小，

∵∠AFE=90∘，

∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，

由折叠知，AF=AB=3，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，

∴AC=5，

∴CF=AC−AF=2，

在Rt△CEF中,

.EF2+CF2=CE2，

∴BE2+CF2=(4−BE)2，

∴BE2+22=(4−BE)2，

∴BE= .

【解析】

试题（1）先确定出∠BAE=30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论

（2）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG=CG，设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；

（3）先判断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵∠DAG=30°，

∴∠BAG=60°

由折叠知，∠BAE=∠BAG=30°，

在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，

∴BE=；

(2)如图，连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EFG=90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

∴GF=GC；

设GC=x，则AG=3+x，DG=3−x，

在Rt△ADG中，42+(3−x)2=(3+x)2，

解得x=.

（3）如图1，

由折叠知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，

∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，

∴当CF最小时，△CEF的周长最小，

∵∠AFE=90°，

∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，

由折叠知，AF=AB=3，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，

∴AC=5，

∴CF=AC−AF=2，

在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，

∴BE2+CF2=(4−BE)2，

∴BE2+22=(4−BE)2，

∴BE=.