Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？

（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？

（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．

Answer

（1）6秒；（2）6.5秒；（3）7秒.

【解析】

（1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可；

（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；

（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可．

（1）设经过x秒，四边形PQCD为平行四边形

即PD=CQ

所以24﹣x=3x，

解得：x=6．

（2）设经过y秒，四边形PQBA为矩形，

即AP=BQ，

所以y=26﹣3y，

解得：y=．

（3）设经过t秒，四边形PQCD是等腰梯形．

过P点作PE⊥AD，过D点作DF⊥BC，

∴∠QEP=∠DFC=90°

∵四边形PQCD是等腰梯形，

∴PQ=DC．

又∵AD∥BC，∠B=90°，

∴AB=PE=DF．

在Rt△EQP和Rt△FCD中，

PQ=DC

PE=DF

∴Rt△EQP≌Rt△FCD（HL）．

∴EQ=FC

∵FC=BC﹣AD=26﹣24=2．

又∵BQ=BC-CQ=26﹣3t，

∴EQ=AP﹣BQ=t﹣（26﹣3t）=4t-26．

∴4t-26=2

得：t=7．

∴经过7s，PQ=CD．