Question

在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．

（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；

（2）如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；

（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer

（1）；（2）；（3）；0≤x≤.

【解析】

试题（1）由正方形的性质及可求出BC=8，PC=6，由勾股定理可求出BP=10，再由△∽△即可求出结论；

（2）由正方形的性质得∠A=∠ABC=∠C=90°，由MQ∥AB得∠QMR=∠A，故∠QMR=∠C；由MQ∥AB得，而∠1+∠RQM=90°,∠ABP+∠PBC=90°，故，从而△∽△.故可得出结论；

（3）延长交的延长线于点，通过证明，分别计算及,，从而可得出结论.

试题解析：（1）由题意，得,

在Rt△中，

∴

∵

∴∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴△∽△

∴

∴

∴

（2）答：的比值随点的运动没有变化

理由：如图，

∵∥

∴,

∵

∴

∵

∴

∴

∴△∽△

∴

∵，

∴

∴的比值随点的运动没有变化,比值为

（3）延长交的延长线于点

∵∥

∴

∵

∴

∴

∴

∵∥,∥

∴∥

∴

∵,

∴

又,

∴

∴

它的定义域是