Question

如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，∠C＝90°且A(－1，3)、B(－3，－1)、C(－3，3)，已知△A₁AC₁是由△ABC旋转得到的．若点Q在x轴上，点P在直线AB上，要使以Q、P、A₁、C₁为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点Q的坐标为______．

Answer

(－1.5，0)或(－3.5，0)或(6.5，0)

【解析】

用待定系数法先求出直线AB的解析式，然后再根据A1 C1为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况分别进行求解即可.

∵由图可知A(-1，3)，B(-3，-1)，

∴设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，则

，解得，

∴直线AB的解析式为：y=2x+5；

∵点Q在x轴上，点P在直线AB上，以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，

当A1C1为平行四边形的边时，

则PQ// A1 C1//y轴，PQ=A1 C1=2，

∵P点在直线y=2x+5上，

∴令y=2时，2x+5=2，解得x=-1.5，

令y=-2时，2x+5=-2，解得x=-3.5，

∴P(-1.5，2)或(-3.5，-2)，

∴Q(-1.5，0)或(-3.5，0)；

当A1C1为平行四边形的对角线时，

∵A1C1的中点坐标为(3，2)，

∴P的纵坐标为4，

代入y=2x+5得，4=2x+5，

解得x=﹣0.5，

∴P(﹣0.5，4)，

3-(-0.5)=3.5，3+3.5=6.5，

∴Q(6.5，0)，

综上，Q点坐标为：(－1.5，0)或(－3.5，0)或(6.5，0)，

故答案为：(－1.5，0)或(－3.5，0)或(6.5，0).