Question

阅读理【解析】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；

（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是               （填序号）.

  图1                          图2                         图3

Answer

（1）①证明见解析；②BE2+CF2=EF2；(2)①②④.

【解析】试题（1）①可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中，利用三角形的三边关系求解即可；②由∠A=90°，可得∠EBC+∠FCB=90°，由①中的全等得到∠C=∠CBG；即可得∠ABC+∠CBG =90°，即∠EBG=90°，由此可得可得三边之间存在勾股定理关系；（2）①在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，可得AF=FD=CD，即可得∠DFC=∠DCF；再由AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DFC=∠FCB，所以∠DCF=∠BCF，根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD，①正确；②延长EF，交CD延长线于M，根据已知条件易证△AEF≌△DMF，根据全等三角形的性质可得FE=MF，∠AEF=∠M，又因CE⊥AB，可得∠AEC=90°，所以∠AEC=∠ECD=90°，因FM=EF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FC=FM，②正确；③由EF=FM可得S△EFC=S△CFM，又因MC＞BE，即可得S△BEC＜2S△EFC，所以S△BEC=2S△CEF错误，即③错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，所以∠DCF=∠DFC=90°﹣x，根据三角形外角的性质可得∠EFC=180°﹣2x，所以∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，再由∠AEF=90°﹣x，即可得∠DFE=3∠AEF，④正确．

试题解析：

延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF，

∴△BDG≌△CDF,

∴CF=BG，

∵DE⊥DF，DF=DG，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）①∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；

②延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中， ，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，

∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，

∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

故正确答案为：①②④.