Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．

Answer

（1）见解析；（2）CE=2.

【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，再利用圆周角定理得到∠BAC=∠EAC，加上∠BAC=∠OCA，所以∠EAC=∠OCA．则OC∥AE，从而得到AE⊥DE；

（2）连接BF交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∴∠BFA=90°．易得四边形CEFG是矩形．则CO⊥BF，CF=GF，利用垂径定理得到BG=GF，再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BF=AF=4，则BG=GF=2，从而得到CE的长．

（1）证明：连接OC，如图，

∵DE切⊙O于C，

∴OC⊥DE，

∵点C是的中点，

∴∠BAC=∠EAC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∴∠EAC=∠OCA．

∴OC∥AE．

∴AE⊥DE；

（2）连接BF交OC于G，如图，

∵AB是⊙O直径，

∴∠BFA=90°．

易得四边形CEFG是矩形．

∴CO⊥BF，CF=GF，

∴BG=GF，

在Rt△ABF中，∠BAE=60°，AF=4，

∴BF=AF=4，

∴BG=GF=2

∴CE=2．