Question

已知二次函数y=（t+1）x²+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值；

（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．

Answer

（1）（2）① m=-6，k=4；②

【解析】

（1）把x=0和x=2代入得出关于t的方程，求出t即可；

（2）把A的坐标代入抛物线，即可求出m，把A的坐标代入直线，即可求出k；

（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=-（x-3）（x+1），得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直线平移后的解析式是y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，求出判别式△=6n=0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出平移后的直线与抛物线有两个公共点，设两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），代入直线的解析式，求出n的值，即可得出答案．

（1）【解析】
∵二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等，

∴代入得：0+0+=4（t+1）+4（t+2）+，

解得：t=-，

∴y=（-+1）x2+2（-+2）x+=-x2+x+，

∴二次函数的解析式是y=-x2+x+．

（2）【解析】
把A（-3，m）代入y=-x2+x+得：m=-×（-3）2-3+=-6，

即A（-3，-6），

代入y=kx+6得：-6=-3k+6，

解得：k=4，

即m=-6，k=4．

（3）【解析】
由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=-x2+x+=-（x2-2x-3）=-（x-3）（x+1），-1≤x≤3，

则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，

此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，

如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，

则方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，

即-x2-（n+3）x-n2-=0有两个相等的实数解，

判别式△=[-（n+3）]2-4×（-）×（-n2-）=6n=0，

即n=0，

∵与已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，

∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，

则两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），

则0=4（-n-1）+6+n，

n=，

0=4（3-n）+6+n，

n=6，

即n的取值范围是：≤n≤6．