Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外侧作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接CE，CE交射线AD与点F．

（1）依题意补全如图．

（2）设∠BAD=α，若0°＜α＜45°，求∠AEC的大小（用含α的代数式表示）．

（3）如图，0°＜∠BAD＜45°，用等式表示线段EC，FC与EB之间的数量关系．

Answer

（1）补图见解析；（2）∠AEC==45°-α．证明见解析；（3）EB=（EC-FC），证明见解析.

【解析】

（1）根据要求画出图形即可．

（2）首先证明∠EAC=90°+2α，理由等腰三角形的性质即可解决问题．

（3）结论：EB=（EC-FC）．想办法证明△EFB是等腰直角三角形即可解决问题．

（1）所画图形，如图所示．

（2）∵点B关于射线AD的对称点为E，

∴∠EAD=∠BAD=α，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAC=90°+2α，

∵AE=AB=AC，

∴∠AEC=（180°-90°-2α）=45°-α．

（3）结论：结论：EB=（EC-FC）．

理由：∵∠EFD=∠AEC+∠AEF=45°-α+α=45°，

∵AD垂直平分线段BE，

∴∠BFD=∠EFD=45°，

∴∠EFB=90°，∵FE=FB，

∴△EFB是等腰直角三角形，

∴EC-CF=EF=EB，

∴EB=（EC-FC）．