Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤2，则称点P是线段AB的“影子”．

（1）在点C（0，1），D（2，），E（4，5）中，线段AB的”影子”是        ．

（2）若点M（m，n）在直线y=-x+2上，且不是线段AB的“影子”，求m的取值范围．

（3）若直线y=x+b上存在线段AB的“影子”，求b的取值范围以及“影子”构成的区域面积．

Answer

（1）C，D；（2）m＜或m＞2；；（3）4π+8．

【解析】

（1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，根据点P到直线AB的距离≤2，求出当横坐标-1≤x≤3纵坐标2≤y≤4范围内时，点是线段AB的“临近点”，看点的纵坐标是否在y的范围内即可以及在A点的左边到A点的距离≤2，或在B点的右边到B点的距离≤2，点是线段AB的“临近点”；

（2）如图，设直线线y=-x+2交“影子”于点C，F，如图所示，延长BA交y轴于E，过C作CD⊥BA于BA的延长线于D，结合图形和一次函数图象上点的坐标特征来求m的范围；

（3）当直线y=x+b与半圆A相切、与半圆B相切来求b的最值，从而得到b的取值范围．

（1）C（0，1），D（2，）是线段AB的“临近点”．理由是：

∵点P到直线AB的距离≤2，A、B的纵坐标都是2，

∴AB∥x轴，2-2=0，2+2=4，

∴当横坐标-1≤x≤3纵坐标2≤y≤4范围内时，该点是线段AB的“临近点”，

∵D（2，），

∴D（2，）是线段AB的“临近点”；

∵C（0，1），A（1，2），

∴AC=1-0=1，

∴C（0，1）是线段AB的“临近点”．

故答案为：C和D；

（2）设直线线y=-x+2交“影子”于点C，F，如图所示，延长BA交y轴于E，过C作CD⊥BA于BA的延长线于D，

在Rt△ADC中，设D（x，2），则DE=-x，CD=-x，

∴DA=1-x，AC=2，

∴（-x）2+（1-x）2=4，

解得：x1=，x2=，

∵直线y=-x+2与x轴的解得为F（2，0），

∴m＜或m＞2；

（3）设直线y=x+b与半圆B相切于G，与x轴交于k，与y轴交于I，过B作BH⊥x轴于H，

则H（3，0），

在Rt△BHK中，BH=2，∠BKH=60°，

∴HK=，

在Rt△OKI中，OI=3+2，则I（0，-3-2），

同理J（0，6-），

∴b的取值范围：-2-3≤b≤6-，

∵“影子”构成的区域为两个半圆和一个矩形，

∴影子”构成的区域面积=22π+4×2=4π+8．