Question

如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．在运动的过程中，写出以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似时t的值为_____________

Answer

【解析】

本题需先证出△BCP∽△BAE ,求出AE=t，由△POE和△BAE相似，再间接得到△POE∽△PCB ,根据相似三角形写出比例式求出t的值.

∴∠ABE+∠ABP=90°，

∠PBC+∠ABP=90°，

∴∠ABE=∠PBC，

∵∠BAE=∠BCP=90°，

∴△BCP∽△BAE，

∴，

∴，

∴AE=t，

∵若△POE∽△PCB，

∴，

∴，

∴t1=，

t2= (舍去).

当点P在y轴负半轴时，若△POE∽△EAB，则有，无解.

若△POE∽△BAE,则有，解得t=3+或t+3-（舍去）

故答案为：.