Question

如图（1），已知点E在正方形ABCD的对角线BD上，EG⊥BC，垂足为点G，EF⊥AB，垂足为点F．

（1）证明与猜想：

①求证：△BEF∽△BDA；

②猜想：的值为　   　：

（2）探究与证明：

将正方形BFEG绕点B顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段DE与CG之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：正方形BFEG在旋转过程中，当A，F，G三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长BE交CD于点H．若DE＝3，EH＝，则BC＝　   　．

Answer

(1) ①证明如下，②.(2)DE=CG (3)

【解析】

（1）①，由EG⊥BC，EF⊥AB结合∠ABC=∠BFE=∠BGE=90°可得四边形BGEF是矩形，再由∠ABD=45°即可得证；

②，由正方形性质知∠A=90°、∠ABD=45°，据此可得的值、EF∥AD，利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接BE，只需证△DBE∽△CBG即可得；

（3），根据相似三角形的判定得到△BCH∽△DGB，由相似三角形的性质得到，设BG=a，BC=x，带入，联立Rt△BGD中，勾股定理得BD2=BG2+DG2，计算得到答案.

（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，∠ABD=45°.

∵EG⊥BC，EF⊥AB，

∴∠ABC=∠BFE=∠BGE=90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠ABD=∠CBD=45°，

∴BF=EF，

∴四边形BGEF是正方形

∴EF∥AD

∴△BEF∽△BDA

②由①知四边形BGEF是正方形，△BEF∽△BDA

∴∠BAD=90°，∠ABD=45°，

∴=，△BEF∽△BDA，

∴=；

（2）

连接BE，

△DBC∽△EBG（两等腰直角三角形相似）

∴

∴

又∵∠DBE=∠CBG

∴△DBE∽△CBG

∴

（3）∵∠DBE=∠CBG，∠DBE+∠BDE=45°∠CBG+∠HBC=45°

∴∠BDG=∠HBC

又∠G=∠BCH=90°

△BCH∽△DGB

设BG=a，BC=x

，即，得x2=（a+1）（a+3）①

在Rt△BGD中，勾股定理得BD2=BG2+DG2

即2x2=a2+（a+3）2②

联立①②得a=，x=，故BC=.