Question

如图，抛物线（其中m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC

(1)直接写出点A、点C的坐标；

(2)当∠ACB=90°时，点D是第一象限抛物线上一动点，连接OD，当OD的长最小时，求点D的坐标；

(3)直线经过点B，与抛物线交于另一点G，点P在y轴上，点Q在抛物线上，以点B、G、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由.

(4)    当tan∠CBO=时，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AO方向匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为一边在x轴上方作正方形PQMN，设运动时间为t秒.不妨设正方形PQMN和△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S关于t的函数表达式.

Answer

（1）A点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，2）（2）D点坐标为（，）（3）P点为（2，-m-9）（4）当PQ≥OC时S=-2+6，当PQ＜OC时S=9t2-36t+36

【解析】

(1)C点纵坐标为当x=0时，y的值，A点横坐标为当y=0时，x的值.

(2)先根据题意求出抛物线解析式，再设D点坐标由两点距离公式即可得到.

(3)先求出 G点坐标，在得到GP解析式，即可求得P点坐标.

(4)先求得m的值，再分情况讨论当PQ≥OC时与PQ＜OC时S的值.

（1）∵抛物线（其中m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

∴A点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，2）

（2）当∠ACB=90°时，B点坐标为（2，0）此时抛物线为y=-（x+2）（x-2）=-x2+2

设D点坐标为（x，-x2+2）

则OD=

∴当x2=时，即x=时OD最小.(x=-舍去)

此时D点坐标为（，）

（3）经过点B（m，0）

∴b=-m， 即y=x-m

∵

∴x=-m-2

∴G点为（-m-2，-m-1）

∵直线与直线GP垂直

∴GP的解析式为y=-2x+b2

G点带入得b2=-m-5

∴GP的解析式为y=-2x-m-5

∵P点在对称轴x=2上

∴y=-2×2-m-5

∴P点为（2，-m-9）

(4) 当tan∠CBO=时,,即BO=4

∴m=4

∴抛物线解析式为

设AP=2t，BQ=t，PQ=6-3t

当PQ≥OC时，即6-3t≥2

t≤

设PN与AC交于G点，MQ与BC交于H

S=S△ABC-S△AGP-S△BHQ=×6×2-×4t2-t·t=-2+6

当PQ＜OC时，即6-3t＜2

即t＞

S=SPQMN=（6-3t）2=9t2-36t+36.

综上，当PQ≥OC时S=-2+6，当PQ＜OC时S=9t2-36t+36.