Question

已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S₁、S₂．

（1）请比较S₁与S₂的大小： S₁　   　S₂；

（2）若一个正方形与甲的周长相等．

①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；

②若该正方形的面积为S₃，试探究：S₃与S₁的差（即S₃﹣S₁）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；

（3）若满足条件0＜n＜|S₁﹣S₂|的整数n有且只有8个，直接写出m的值并分别求出S₁与S₂的值．

Answer

（1）≥；（2）①m+；②S3-S1=是一个常数 ；（3）m=10，S1=204,S2=195

【解析】

（1）分别计算出甲，乙两长方形的面积S1、S2，利用m的取值比较为S1-S2的大小即可判断；（2）①先求出甲长方形的周长，再得出正方形的边长；②根据正方形放任边长求出S3，即可求出S3﹣S1，再进行判断；③根据S1﹣S2的取值与整数n有且只有8个，得出m的值即可，再求出S1与S2的值．

（1）S1=(m+2)(m+7)=m2+9m+14,S2=(m+3)(m+5)=m2+8m+15

故S1-S2=m-1，

∵m为正整数，故S1≥S2；

（2）∵甲的周长=2（m+2+m+7）=4m+18

∴正方形的边长为=m+

S1=(m+2)(m+7)=m2+9m+14

S3=(m+)2=m2+9m+

S3-S1=-14=，是一个常数，是

（3）m=10

此时S1=12×17=204,S2=13×15=195