Question

如图1，抛物线y＝ax²+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．

（1）求a的值；

（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P₁，将线段OP₁绕点O逆时针旋转得到OP₂，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP₂、BP₂，求AP₂+BP₂的最小值．

Answer

(1) (2) 3 (3)

【解析】

（1）把A点坐标代入可得到关于a的方程，可求得a的值；

（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值；

（3）在y轴上取一点Q，使，可证得△P2OB∽△QOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2化为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时有最小值，则可求得答案．

（1）∵A（4，0）在抛物线上，

∴0=16a+4（a+2）+2，解得a=-；

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-x2+x+2，令x=0可得y=2，

∴OB=2，

∵OP=m，

∴AP=4-m，

∵PM⊥x轴，

∴△OAB∽△PAN，

∴，即，

∴PN=（4-m），

∵M在抛物线上，

∴PM=-m2+m+2，

∵PN：MN=1：3，

∴PN：PM=1：4，

∴-m2+m+2=4×（4-m），

解得m=3或m=4（舍去）；

（3）在y轴上取一点Q，使，如图，

由（2）可知P1（3，0），且OB=2，

∴，且∠P2OB=∠QOP2，

∴△P2OB∽△QOP2，

∴，

∴当Q（0，）时QP2=BP2，

∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ，

∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，

∵A（4，0），Q（0，），

∴AQ=，即AP2+BP2的最小值为．