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已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0 (1)求证:无论k取何值,...

已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0

(1)求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;

(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.

 

(1)证明见解析;(2)10. 【解析】 试题(1)先把方程化为一般式:x2﹣(2k+1)x+4k﹣2=0,要证明无论k取任何实数,方程总有两实数根,即要证明△≥0; (2)先利用因式分解法求出两根:x1=2,x2=2k﹣1.先分类讨论:若a=4为底边;若a=4为腰,分别确定b,c的值,求出三角形的周长. 试题解析:(1)证明:方程化为一般形式为:x2﹣(2k+1)x+4k﹣2=0, ∵△=(2k+1)2﹣4(4k﹣2)=(2k﹣3)2, 而(2k﹣3)2≥0, ∴△≥0, 所以无论k取任何实数,方程总有两个实数根; (2)【解析】 x2﹣(2k+1)x+4k﹣2=0, 整理得(x﹣2)[x﹣(2k﹣1)]=0, ∴x1=2,x2=2k﹣1, 当a=4为等腰△ABC的底边,则有b=c, 因为b、c恰是这个方程的两根,则2=2k﹣1, 解得k=,则三角形的三边长分别为:2,2,4, ∵2+2=4,这不满足三角形三边的关系,舍去; 当a=4为等腰△ABC的腰, 因为b、c恰是这个方程的两根,所以只能2k﹣1=4, 则三角形三边长分别为:2,4,4, 此时三角形的周长为2+4+4=10. 所以△ABC的周长为10.  
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考点分析:
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