Question

把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．

Answer

.【解析】
（1）证明：在△ACD和△BCE中，

AC＝BC，

∠DCA＝∠ECB＝90°，

DC＝EC，

∴△ACD≌△BCE（SAS）． 5分

∴∠DAC＝∠EBC． 6分

∵ ∠ADC＝∠BDF，

∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．

∴ ∠BFD=90°． 8分

∴AF⊥BE． 9分

【解析】试题根据题意得出∠DEC=∠EDC=45°，∠CBA=∠CAB=45°，则EC=DC，BC=AC，得出△ECD和△BCA为等腰直角三角形，然后证明△BEC和△ADC全等，从而得出∠EBC=∠DAC，根据∠DAC+∠CDA=90°得出

∠BFD=90°，从而得出垂直.

试题解析：AF⊥BE，理由如下：

由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CBA=∠CAB=45°， ∴EC=DC，BC=AC，又∠DCE=∠DCA=90°，

∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形， ∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°．

在△BEC和△ADC中, EC=DC，∠ECB=∠DCA，BC=AC， ∴△BEC≌△ADC（SAS）．

∴∠EBC=∠DAC．∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，∴∠EBC+∠FDB=90°．

∴∠BFD=90°，即AF⊥BE．