Question

如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．

(1)若△APD为等腰直角三角形．

①求直线AP的函数解析式；

②在x轴上另有一点G的坐标为(2，0)，请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值．

(2)如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

Answer

（1）①y＝﹣x+3，②N（0， ）,；（2） y＝2x﹣2.

【解析】

（1）①由矩形的性质和等腰直角三角形的性质可求得∠BAP＝∠BPA＝45°，从而可得BP＝AB＝2，进而得到点P的坐标，再根据A、P两点的坐标从而可求AP的函数解析式；

②作G点关于y轴对称点G'（﹣2，0），作点G关于直线AP对称点G''（3，1），连接G'G''交y轴于N，交直线AP 于M，此时△GMN周长的最小，根据点G'、G''两点的坐标，求出其解析式，然后再根据一次函数的性质即可求解；

（2）根据矩形的性质以及已知条件求得PD=PA，进而求得DM=AM，根据平行四边形的性质得出PD=DE，然后通过得出△PDM≌△EDO得出点E和点P的坐标，即可求得．

【解析】
（1）①∵矩形OABC，OA＝3，OC＝2，

∴A（3，0），C（0，2），B（3，2），

AO∥BC，AO＝BC＝3，∠B＝90°，CO＝AB＝2，

∵△APD为等腰直角三角形，

∴∠PAD＝45°，

∵AO∥BC，

∴∠BPA＝∠PAD＝45°，

∵∠B＝90°，

∴∠BAP＝∠BPA＝45°，

∴BP＝AB＝2，

∴P（1，2），

设直线AP解析式y＝kx+b，

∵过点A，点P，

∴

∴ ，

∴直线AP解析式y＝﹣x+3;

②如图所示：

作G点关于y轴对称点G'（﹣2，0），作点G关于直线AP对称点G''（3，1）

连接G'G''交y轴于N，交直线AP 于M，此时△GMN周长的最小，

∵G'（﹣2，0），G''（3，1）

∴直线G'G''解析式y＝x+

当x＝0时，y＝，

∴N（0，）,

∵G'G''＝,

∴△GMN周长的最小值为;

（2）如图：作PM⊥AD于M，

∵BC∥OA

∴∠CPD＝∠PDA且∠CPD＝∠APB，

∴PD＝PA，且PM⊥AD，

∴DM＝AM，

∵四边形PAEF是平行四边形

∴PD＝DE

又∵∠PMD＝∠DOE，∠ODE＝∠PDM

∴△PMD≌△EOD，

∴OD＝DM，OE＝PM，

∴OD＝DM＝MA，

∵PM＝2，OA＝3，

∴OE＝2，OM＝2

∴E（0，﹣2），P（2，2）

设直线PE的解析式y＝mx+n

∴

∴直线PE解析式y＝2x﹣2.