Question

如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动；同时动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒个单位长度的速度运动.设点，点的运动时间为.

（1）当时，按要求回答下列问题

①______________；

②求经过，，三点的抛物线的解析式，若将抛物线在轴上方的部分图象记为，已知直线与有两个不同的交点，求的取值范围；

（2）连接，点，在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数解析式.

Answer

（1）①3；②y=-x2+3x； 0≤b＜；（2）当0≤t≤2时，S=3t；当2＜t≤4时，S=24--3t；当t＞4时，S=.

【解析】

（1）①过Q作QM⊥BC，即可在直角三角形中求得tan∠QPC；②设抛物线的解析式，将点O、P、A代入即可求得抛物线方程；将一次函数与抛物线方程联立，由直线与G1有2个交点得到＞0，b≥0，求得b的范围.（2）讨论三种情况：当0≤t≤2时，当2＜t≤4时，当t>4时，分别求得S与t之间的函数解析式.

【解析】
（1）①过Q作QM⊥BC，tan∠QPC==3；

②A（4,0）O（0,0）P（2,3）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

把A（4,0）O（0,0）P（2,3）代入y=ax2+bx+c得，

解得.y=x2+3x.

联立直线 y=x+b与 y=-x2+3x,得 则-x2+3x=x+b，

∵直线x+b 与 G1 有 两 个 不 同 交 点，

∴方程-x2+3x=x+b有2个不同解，

∴＞0即，

b＜，

又由直线与G1交于x轴上方，∴b≥0，

∴b的范围为.

（2）当0≤t≤2时，S=3t；当2＜t≤4时，S=2；当t＞4时，S=.

当0≤t≤2时，如图1，由题意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

当2＜t≤4时，如图2：

过Q作QH⊥CP于H，BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3,

∵BM∥HQ，

∴△PBM∽△PHQ，

∴.

即，

∴BM=,

∴AM=3- BM=，

当P在CB延长线上，Q在OA延长线上时，即t>4时，如图3，

CQ与AB交于M点，过Q做，

则, 即，故有.

面积为： （t > 4）